콥 더글러스 효용함수와 무차별곡선

미시경제학의 대표 개념 중 하나인 콥-더글러스 효용함수(Cobb-Douglas Utility Function) 와 무차별곡선(indifference curve) 을 같이 잡아보자.이건 ‘사람이 소비 선택을 어떻게 하는가’를 설명하는 가장 기본 틀이야 🍎🥛

 

효용함수와 무차별곡선 개념 정리

1. 효용함수(Utility Function)

• 소비자가 재화를 소비할 때 느끼는 만족의 정도를 수학식으로 표현한 것.
• 일반형: U = f(X, Y)
  (X, Y는 두 재화의 소비량)
• 효용이 높을수록 소비자는 더 만족한다.

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1. 무차별곡선(Indifference Curve)

• 같은 효용(만족)을 주는 재화 조합들의 연결선.
• 곡선 위의 모든 점은 소비자에게 같은 수준의 행복을 의미한다.
• 오른쪽 아래로 기울어진 원점에 볼록한 모양.
  → 한 재화를 더 얻기 위해 다른 재화를 조금씩 포기해야 함.
  → 체감대체율(MRS)이 존재하기 때문.

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1. 한계대체율(MRS, Marginal Rate of Substitution)

• A 재화를 1단위 더 소비하기 위해 B 재화를 얼마나 포기할 의향이 있는가를 나타내는 값.
  → 사과 1개 더 얻으려면 바나나 2개를 포기해도 괜찮다는 뜻. 
• 수식: MRSxy = MUx / MUy
• 콥-더글러스 효용함수(U = X^a Y^b)에서는 MRSxy = (a/b) × (Y/X)
• X가 많을수록 MRS는 감소 → 무차별곡선이 원점에 볼록한 이유.
  
  +기회비용(Opportunity Cost)
  • A선택을 할 때 포기해야 하는 B다른 선택의 가치
    →  사과 1개 더 먹으려면 바나나 2개를 포기해야 한다면,
    사과 1개의 기회비용은 바나나 2개야. 사과1개=바나나 2개
    
    👉 한계대체율(MRS)
    : “배고픔이 덜하니까, 파스타 대신 샐러드라도 괜찮아.
    즉, 파스타 1의 만족 = 샐러드 1.5의 만족 정도.”
    → ‘심리적 교환비율’ (의향)
  • 👉 기회비용
    : 실제로 샐러드를 선택했으니,
    포기한 파스타의 가치(15,000원) - 샐러드의 가치(10,000원) = 5,000원
    → ‘실제 선택의 결과’
    
    A = 파스타 (15,000원) B =  샐러드(10,000원) 

 

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효용극대화의 소비조합

• 예산제약(가격과 소득)을 고려할 때 효용이 가장 큰 점을 찾는 것.
• 조건: MRS = Px / Py
  (소비자가 느끼는 교환비율 = 시장이 제시하는 교환비율)
• 직선형 예산선과 무차별곡선이 한 점에서 접하는 지점이 효용극대화점이다.

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1. 콥-더글러스 효용함수(Cobb-Douglas)

• 효용함수: U = X^a Y^b (a,b > 0)
• X와 Y 모두 일정 부분 효용에 기여하며, 체감대체율이 존재.
• 무차별곡선은 원점에 볼록한 형태.
• 효용극대화 조건: MRS = Px / Py
• 예: U = X^0.5 Y^0.5 → X와 Y를 동일하게 선호.

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요약

• 무차별곡선: 효용이 같은 점들의 연결선 (원점에 볼록)
• MRS: 한 재화를 다른 재화로 대체할 때의 비율
• 효용극대화점: MRS = Px/Py 인 지점 (예산선과 접함)
• 완전대체재: 직선형 무차별곡선
• 완전보완재: L자형 무차별곡선
• 콥-더글러스형: 원점에 볼록한 일반적 형태, 체감대체율 존재

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